多項式の最小分解体のガロア群

次数の低い多項式の最小分解体のガロア群は比較的簡単に決定できます。ここでは判別式を使う方法を紹介します。

まず、K を標数が 2 でない体とする(標数 2 では使えない)。K の代数閉包 Ω を一つ用意しておく。

K 係数の n 次の既約なモニック多項式 \( f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} \cdots + a_n \) について、K 上分離的であるとし、Ω の中での解を \( \alpha_1, \cdots, \alpha_n \) とおく(モニック性は本質的ではない)。\( L = K(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \) を最小分解体とする。このとき、差積判別式をそれぞれ

$$
\Delta(f) = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j), \\
D(f) = \Delta(f)^2
$$

と定義する。

さて、ガロア群 \( \operatorname{Gal}(L/K) \) の元 \( \sigma \) は \( \sigma(\alpha_i) = \alpha_j \) で決まり、n 次の置換とみなせるので、対称群 \( \mathfrak{S}_n \) の部分群と自然にみなせる。こうしたとき、明らかに

$$ \sigma(\Delta) = \operatorname{sgn}(\sigma) \Delta $$

が成り立つ( f は省略した)。ただし sgn は置換の符号である。

ここで、n 次の交代群を \( A_n \) と書くと、ch K ≠ 2 と f(x) が既約かつ分離的であることから差積が 0 でないことに注意して

\( \sigma \in A_n \Leftrightarrow \sigma(\Delta) = \Delta \)

となる。したがって

\( \operatorname{Gal}(L/K) \subseteqq A_n \)

\( \Leftrightarrow \Delta \in L \) は \( \operatorname{Gal}(L/K) \) で不変

\( \Leftrightarrow \Delta \in K \)

\( \Leftrightarrow D = \Delta^2 \in K^2. \)

以上で次の定理を得た :

定理
標数 2 でない体 K と K 上の既約で分離的な多項式 f(x) について、K 上の最小分解体を L とおく。
\( \operatorname{Gal}(L/K) \subseteqq A_n \Leftrightarrow D \in K^2 \)

これの簡単な応用として、\( \mathbb{Q} \) 上の既約な3次多項式 \( f(x) = x^3 + ax + b, \ \ a > 0 \) の最小分解体 L のガロア群が \( \mathfrak{S}_n \) であることを示せます。
D は終結式による表現もあり、終結式を R(f, g) で書くことにすると、

$$ \displaystyle D = (-1)^{ \frac{1}{2} n (n-1) } R(f,f') $$

が成り立ちます。頑張って終結式を計算すると、\( 4a^3 + 27b^2 \) となります。\( a > 0 \) としているので、判別式 \( D \) は \( n = 3 \) より負になります。これは \( D \not\in \mathbb{Q}^2 \) を意味しており、したがって定理から \( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \) は交代群の部分群ではありません。

一方、与えられた多項式は3次で既約なので \( |\operatorname{Gal}(L/K)| = [L : K] \geqq 3 \) でなければならず、また、3次対称群の部分群なので \( \operatorname{Gal}(L/K) = \mathfrak{S}_3, A_3 \) であり、結局今の議論で、

\( \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) = \mathfrak{S}_3 \)

がわかります。

球面の回転同相


直感的には、n 次元球面 Sn の任意の二点 x, y について、球面の自己同相で x を y に移すものがあるのは自明ですが、証明になかなか苦戦したのでここに書いておきます。

\( \mathbb{R}^n \) の元をベクトルとみなして、基底 \( x = x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n \) 及び \( y = y_1, y_2, y_3, \cdots , y_n \) に延長する。正規直交化して、二つとも正規直交基底として良い。x, y はもともとどちらの長さも 1 である。

このとき、\( e_1, \cdots, e_n \) を \( \mathbb{R}^n \) の自然な基底とすると、以下で定まる線形写像


$$ e_i \mapsto x_i, \ \ \ \ x_i \mapsto y_i, \ \ \ \ e_i \mapsto y_i $$


に対応する行列をそれぞれ A, B, C とする。A は \( x_i \) たちを縦のベクトルと見て横に並べたもので、C も \( y_i \) たちを同様に並べたものである。A, C の行ベクトルたちは正規直交基底をなすので、A, C は直交行列である(直交行列の5つの定義と性質の証明 | 高校数学の美しい物語

また、\( C^{-1}BA \) は明らかに単位行列 \( E_n \) であるので、\( B = CA^{-1} \) となって、これは直交行列であることが分かる。

B の定める線形写像は \(x = x_1\) を \(y = y_1\) に移していて、B は直交行列なのでベクトルの長さを保つ。つまり、球面に制限すると像は再び球面上にある。明らかに全単射かつ連続であるので、示された。


これからの簡単な帰結としては球面の wedge sum \( S^n \vee S^m \) がどの点を同一視するのかによらないことが分かります。 線形代数は大事ですね。

行列式の定理 1


1.

\(
\begin{vmatrix} \displaystyle
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= a_{11}
\begin{vmatrix} \displaystyle
a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\)

【証明】
\( A = (a_{ij}), \ \ a_{21} = a_{31} = \ldots = a_{n1} = 0 \) としよう。このとき行列式は

\( \displaystyle \det A = \sum _{\sigma \in S_{n}} sgn \left( \sigma \right) \, \prod_{i = 1}^{n} \) a_{i\sigma(i)}

である。 \( \sigma(j) = i, \ \ j \geqq 2 \) であれば、その項は \( sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} a_{i\sigma(i)} = 0 \) である。したがって、

\( \displaystyle
\begin{align}
\det A & = \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
& = \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) a_{11} \prod_{i = 2}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
& = a_{11} \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) \prod_{i = 2}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
\end{align}
\)

であるのだが、\( \{ 1, 2, \ldots, n \} \) 上の置換のうち、1 を固定するものは、\( \{ 1, 2, \ldots, n-1 \} \) で置換と自然に一対一対応がつき、符号が保存される。よって

\( \displaystyle \det A = a_{11} \sum_{\sigma \in S_{n-1}} sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n-1} a_{i\sigma(i)} \)

これはまさに定理の主張する式である。



ホモロジー群のホモトピー不変性


このページでは以下を証明する。

二つの連続写像 \( f, \, g : X \rightarrow Y \) がホモトピックならば誘導される準同型 \( f_*, \, g_* \) は等しい。


\( \Delta^n \times I \) を考える。ただし、\( I = [0, \, 1] \) である。\( \Delta^n \times \{0\} = [v_0v_1 ... v_n], \ \Delta^n \times \{0\} = [w_0w_1 ... w_n] \) とおく。ただし、自然な射影 \( \Delta^n \times I \rightarrow \Delta^n \) によって、\( v_i, \ w_i \) は同じ像を持つとする。

\( F : X \times I \rightarrow Y \) をホモトピーとして、プリズム準同型 \( P : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y) \) を与える :
\[ P(\sigma) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0 \, ... \, v_i w_i \, ... \, w_n] \]

今から示していくのは、このプリズム準同型が f と g の間の chain homotopy であること、すなわち、
\[ \partial \circ P + P \circ \partial = g_{\sharp} - f_{\sharp} \]
を満たすことである。

\[
\begin{align}
\partial \circ P(\sigma) & = \sum_{j \leqq i} (-1)^i(-1)^j F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0 \, ... \, \widehat{v_j} \, ...\, v_iw_i \, ...\, w_n] \\
& + \sum_{j \geqq i} (-1)^i(-1)^{j+1} F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0...v_iw_i...\widehat{w_j}...w_n]. \\
\end{align}
\]

添字が i = j である項を考える。一番目のシグマの中にある \( F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0 ... \widehat{v_i} w_i \, ...\, w_n ] \) と二番目のシグマの中にある \( F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0 \, ... \, v_{i-1} \widehat{w_{i-1}}w_i \, ...\, w_n] \) は互いに符号が異なって打ち消され、残るのは

\[ \begin{align}
F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [\widehat{v_0}w_0 ... w_n] & = g \circ \sigma = g_{\sharp}(\sigma) \\
-F \circ (\sigma \times 1) \, | \, [v_0 \, ... \, v_n \widehat{w_n}] & = f \circ \sigma = -f_{\sharp}(\sigma)
\end{align}\]
だけである。これは、\( F(x, 0) = f(x), \ F(x, 1) = g(x) \) から導かれる。

添字が j > i, j < i である項については、定義にもとづいて計算すれば分かるようにちょうど \( -P \circ \sigma \) である。したがって

\[ \partial \circ P = g_{\sharp} - f_{\sharp} - P \circ \partial \]

を得た。\( \sigma \) がサイクルなら、\( \partial \sigma = 0 \) ゆえ

\[ \partial \circ P (\sigma) = g_{\sharp}(\sigma) - f_{\sharp}(\sigma) \]

であるから、\( g_{\sharp}(\sigma) - f_{\sharp}(\sigma) \) はバウンダリゆえ、同一のホモロジークラスを生成する。したがって
\[ f_* = g_*. \]

ホモロジー群の記号・用語


ここでは定義を上げるというよりは、特異ホモロジーにおいて差異のある記号や用語を置いておくだけとする。

\( \mathbb{R}^{m} \) の線形独立なベクトル \( v_0, ... , v_n \) に対して、
\[ [v_0 v_1 \, ... \, v_n] = \{ x \in \mathbb{R}^{m} : x = \sum_{i=0}^{n} t_iv_i, \ \ \sum_{i=0}^{n} t_i = 1, \ \ t_i \geq 0 \} \]
と表記する。これを、n-単体という。
標準的基底 \( e_0 = (1,\ 0, \ ..., \ 0), \ ..., \ e_n = (0, \ ..., \ 1) \in \mathbb{R}^{n+1} \) に対し、
\[ \Delta^n = [e_0 e_1 \, ... \, e_n ] \]
として、標準的 n-単体という。

特異ホモロジーでは、位相空間 \( X \) に対して、n-単体 \( A = [v_0 v_1 \, ... \, v_n] \) から \( X \) への連続写像 \( \sigma : A \rightarrow X \) を考える。これを 特異 n-単体 と言い、これら全体の集合を \( C_n(X) \) と書く。
n-単体は線形変換によって標準的 n-単体と同一視されるので、特異 n-単体も \( \sigma : \Delta^n \rightarrow X \) とみなせることに注意しておく。

バウンダリ(境界)の集合を \( B_n(X) \) と書いて、サイクルの集合を \( Z_n(X) \) 書く。また2つの単体のホモロジーにおける同値類が等しいとき、ホモロガスという。

D^n / S^n-1 は S^n と同相

\( D^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^n \ : \ |{\rm x}| \leqq 1 \} \) を閉球体として、 \( S^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^{n+1} \ : \ |{\rm x}| = 1 \} \) を球面とする。
\( \partial D^n = S^{n-1} \) であるのだが、 \( D^n \) 上で、
\[ x \sim y, \ \ (x, y \in S^{n-1}) \]
から生成される同値関係 \( \sim \) による商空間 \( D^n / \sim \) を簡単に \( D^n \, / \, S^{n-1} \) と書くことにする。今から示すのは、\( D^n \, / \, S^{n-1} \cong S^n \) である。

そのためには、同相写像を作らなければならない。直感的には、円盤の周りをどんどん縮めていって1点にすると球になるという感じだが、そのときの点の中心からの向きや遠さを保つ写像とするのが自然であろう。その写像は、以下のようになる。

f:id:marx_saul:20170402234210p:plain

これを式で表すと

\[ \displaystyle
\begin{align}
\varphi(x) & = \left( \frac{x_1 \sin \pi |x|}{|x|}, \ ..., \ \frac{x_1 \sin \pi |x|}{|x|} \cos \pi |x| \right) \ \ \ \ (x = (x_1, \ ..., \ x_n) \neq 0) \\
\varphi(0) & = (0,\ ..., \ 0, 1)
\end{align} \]

となる。これは計算すれば分かるように、 \( \varphi : D^n \rightarrow S^n \) であり、 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \varphi(x) = \phi(0) \) であるから連続写像である。
\( |x| = 1 \Rightarrow \phi(x) = (0, \ ..., \ 0, -1) \) であるから、この写像は、連続写像
\( \overline{\varphi} : D^n \, / \, S^{n-1} \rightarrow S^n, \ \ \overline{\varphi} \circ p = \varphi \) を誘導する。ただし、 \( p : D^n \rightarrow D^n \, / \, S^{n-1} \) は自然な射影である。

単射性について、 \( \varphi(x) = \varphi(x') \) とするとき、これらが \( (0, \ ..., \ 0, 1) \) なら、\( |x| = |x'| = 1 \) となって \( D^n \, / \, S^{n-1} \) の上で等しくなる。そうでないときは、\( |x|, |x'| \leq 1 \) に注意して、第 n+1 成分を比べることで \( |x| = |x'| \) を得て、その他の成分を比べることで、\( x_1 = x'_1, \ ..., \ x_n = x'_n \) を得られる。

全射性について、 \( y = (y_1, \ ..., \ y_n+1) \in S^n \) を取るとき、 \( y = (0, \ ..., \ 0, 1) \) なら自明であるから、そうでないとして良い。このとき、 \( y_{n+1} = \cos \pi a \) なる \( a \in [0, 1] \) を取って、 \( \displaystyle y_i = \frac{x_i \sin \pi a}{a} \) となるように定めて、 \( x = (x_1, \ ..., \ x_n, a) \) と置けば、 \( \varphi(x) = y \) を得る。

以上で、 \( \overline{\varphi} : D^n \, / \, S^{n-1} \Rightarrow S^n \) はコンパクト空間からハウスドルフ空間への全単射連続写像であるから、同相写像。\( \Box \)