多項式の最小分解体のガロア群

次数の低い多項式の最小分解体のガロア群は比較的簡単に決定できます。ここでは判別式を使う方法を紹介します。まず、K を標数が 2 でない体とする(標数 2 では使えない)。K の代数閉包 Ω を一つ用意しておく。K 係数の n 次の既約なモニック多項式 \( f(x) …

球面の回転同相

直感的には、n 次元球面 Sn の任意の二点 x, y について、球面の自己同相で x を y に移すものがあるのは自明ですが、証明になかなか苦戦したのでここに書いておきます。\( \mathbb{R}^n \) の元をベクトルとみなして、基底 \( x = x_1, x_2, x_3, \cdots , …

行列式の定理 1

1.\( \begin{vmatrix} \displaystyle a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} \displaystyle a_{12} & \ldots …

ホモロジー群のホモトピー不変性

このページでは以下を証明する。二つの連続写像 \( f, \, g : X \rightarrow Y \) がホモトピックならば誘導される準同型 \( f_*, \, g_* \) は等しい。 \( \Delta^n \times I \) を考える。ただし、\( I = [0, \, 1] \) である。\( \Delta^n \times \{0\} =…

ホモロジー群の記号・用語

ここでは定義を上げるというよりは、特異ホモロジーにおいて差異のある記号や用語を置いておくだけとする。\( \mathbb{R}^{m} \) の線形独立なベクトル \( v_0, ... , v_n \) に対して、 \[ [v_0 v_1 \, ... \, v_n] = \{ x \in \mathbb{R}^{m} : x = \sum_{…

D^n / S^n-1 は S^n と同相

\( D^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^n \ : \ |{\rm x}| \leqq 1 \} \) を閉球体として、 \( S^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^{n+1} \ : \ |{\rm x}| = 1 \} \) を球面とする。 \( \partial D^n = S^{n-1} \) であるのだが、 \( D^n \) 上で、 \[ x \sim y,…