直感的には、n 次元球面 Sn の任意の二点 x, y について、球面の自己同相で x を y に移すものがあるのは自明ですが、証明になかなか苦戦したのでここに書いておきます。\( \mathbb{R}^n \) の元をベクトルとみなして、基底 \( x = x_1, x_2, x_3, \cdots , …

このページでは以下を証明する。二つの連続写像 \( f, \, g : X \rightarrow Y \) がホモトピックならば誘導される準同型 \( f_*, \, g_* \) は等しい。 \( \Delta^n \times I \) を考える。ただし、\( I = [0, \, 1] \) である。\( \Delta^n \times \{0\} =…

ここでは定義を上げるというよりは、特異ホモロジーにおいて差異のある記号や用語を置いておくだけとする。\( \mathbb{R}^{m} \) の線形独立なベクトル \( v_0, ... , v_n \) に対して、 \[ [v_0 v_1 \, ... \, v_n] = \{ x \in \mathbb{R}^{m} : x = \sum_{…

\( D^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^n \ : \ |{\rm x}| \leqq 1 \} \) を閉球体として、 \( S^n = \{ {\rm x} \in \mathbb{R}^{n+1} \ : \ |{\rm x}| = 1 \} \) を球面とする。 \( \partial D^n = S^{n-1} \) であるのだが、 \( D^n \) 上で、 \[ x \sim y,…