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ホモロジー群の記号・用語


ここでは定義を上げるというよりは、特異ホモロジーにおいて差異のある記号や用語を置いておくだけとする。

\( \mathbb{R}^{m} \) の線形独立なベクトル \( v_0, ... , v_n \) に対して、
\[ [v_0 v_1 \, ... \, v_n] = \{ x \in \mathbb{R}^{m} : x = \sum_{i=0}^{n} t_iv_i, \ \ \sum_{i=0}^{n} t_i = 1, \ \ t_i \geq 0 \} \]
と表記する。これを、n-単体という。
標準的基底 \( e_0 = (1,\ 0, \ ..., \ 0), \ ..., \ e_n = (0, \ ..., \ 1) \in \mathbb{R}^{n+1} \) に対し、
\[ \Delta^n = [e_0 e_1 \, ... \, e_n ] \]
として、標準的 n-単体という。

特異ホモロジーでは、位相空間 \( X \) に対して、n-単体 \( A = [v_0 v_1 \, ... \, v_n] \) から \( X \) への連続写像 \( \sigma : A \rightarrow X \) を考える。これを 特異 n-単体 と言い、これら全体の集合を \( C_n(X) \) と書く。
n-単体は線形変換によって標準的 n-単体と同一視されるので、特異 n-単体も \( \sigma : \Delta^n \rightarrow X \) とみなせることに注意しておく。

バウンダリ(境界)の集合を \( B_n(X) \) と書いて、サイクルの集合を \( Z_n(X) \) 書く。また2つの単体のホモロジーにおける同値類が等しいとき、ホモロガスという。