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行列式の定理 1


1.

\(
\begin{vmatrix} \displaystyle
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= a_{11}
\begin{vmatrix} \displaystyle
a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\)

【証明】
\( A = (a_{ij}), \ \ a_{21} = a_{31} = \ldots = a_{n1} = 0 \) としよう。このとき行列式は

\( \displaystyle \det A = \sum _{\sigma \in S_{n}} sgn \left( \sigma \right) \, \prod_{i = 1}^{n} \) a_{i\sigma(i)}

である。 \( \sigma(j) = i, \ \ j \geqq 2 \) であれば、その項は \( sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} a_{i\sigma(i)} = 0 \) である。したがって、

\( \displaystyle
\begin{align}
\det A & = \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
& = \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) a_{11} \prod_{i = 2}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
& = a_{11} \sum_{\sigma \in S_n, \, \sigma(1) = 1} sgn(\sigma) \prod_{i = 2}^{n} a_{i\sigma(i)} \\
\end{align}
\)

であるのだが、\( \{ 1, 2, \ldots, n \} \) 上の置換のうち、1 を固定するものは、\( \{ 1, 2, \ldots, n-1 \} \) で置換と自然に一対一対応がつき、符号が保存される。よって

\( \displaystyle \det A = a_{11} \sum_{\sigma \in S_{n-1}} sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^{n-1} a_{i\sigma(i)} \)

これはまさに定理の主張する式である。